Download PDF by Otto Forster: Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche

By Otto Forster

ISBN-10: 3528272317

ISBN-13: 9783528272319

ISBN-10: 366314173X

ISBN-13: 9783663141730

Der vorliegende Band stellt den zweiten Teil eines Analysis-Kurses für Studenten der Mathematik und Physik dar. Das erste Kapitel befaßt sich mit der Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen. Nach einer Einführung in die topalogischen Grundbegriffe werden Kurven im IRn, partielle Ableitungen, totale Differenzierbarkeit, Taylorsche Formel, Maxima und Minima, implizite Funktionen und parameterabhängige Integrale behandelt. Das zweite Kapitel gibt eine kurze Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Nach dem Beweis des allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und der Besprechung der Methode der Trennung der Variablen wird besonders auf die Theorie der linearen Differentialgleichungen eingegangen. Wie im ersten Band wurde versucht, allzu große Abstraktionen zu vermeiden und die allgemeine Theorie durch viele konkrete Beispiele zu erläutern, insbesondere solche, die für die Physik appropriate sind. Bei der Bemessung des Stoffumfangs wurde berücksichtigt, daß die research 2 meist in einem Sommersemester gelesen wird, in dem weniger Zeit zur Verfugung steht als in einem Wintersemester. Wegen der Kürze des Sommersemesters ist nach meiner Meinung eine befriedigende Behandlung der mehrdimensionalen Integration im 2. Semester nicht möglich, die besser dem three. Semester vorbehalten bleibt. Dies Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im Sommer­ semester 1971 an der Universität Regensburg gehalten habe. Die damalige Vor­ lesungs-Ausarbeitung wurde von Herrn R. Schimpl angefertigt, dem ich hierfür meinen Dank sage.

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Definition. Sei U C IRn eine offene Menge und v=(v 1 , ••. h. alle Komponenten vi: U -IR seien partiell differenzierbar). Dann heißt die Funktion n 3v· divv := ~ - ' ~ 3x·1 i~ 1 die Divergenz des Vektorfeldes v. Bemerkung. Formal kann man die Divergenz von v als Skalarprodukt des Differentialoperators \7 mit v schreiben, . dtvv= (\7, v) = L ax·a vi. n i ~ 1 1 39 § 5. , ... ,v0 ):U-+IR 0 ein partiell differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge U C IRn. Dann gilt avi af a - (fvi) = - · vi + f · - .

Man zeige: Die Funktion F: IRnX IR! ::lF-at=O. 6. Sei c > 0, k E IRn und w := llkllc. Sei f: IR -IR eine beliebige, zweimal stetig differenzierbare Funktion. Man zeige: Die Funktion F: IRn X IR .... ::lF - c2 ot2 = 0 . 45 § 6. Totale Differenzierbarkeit § 6. Totale Differenzierbarkeit In diesem Paragraphen defmieren wir die totale Differenzierbarkeit von Abbildungen einer offenen Teilmenge des IRn in den IRm als gewisse Approximierbarkeit durch lineare Abbildungen. Im Gegensatz zur partiellen Differenzierbarkeit braucht man sich bei der Definition nicht auf die einzelnen Koordinaten zu beziehen; auch ist eine total differenzierbare Abbildung von selbst stetig.

Es gibt zwei Arten von n-tupeln a E INn mit Ia I = 2. Erstens die Vektoren 2ei = (0, ... , 0, 2, 0, ... , 0) , 1~i~n. wobei die 2 an i-ter Stelle steht. Zweitens die Vektoren ei + ei = (0, ... ,1, ... ,1, ... ,0), mit Einsen an den Stellen i und j. Es gilt D2 tlif= D~f. 1 (2ei)! if = DiDJf, (ei + ej)! = 1 ftir i=#:j. Daraus folgt P2(~) = ~ n L D~f(xH~ + L DiD/(xHi~J. i=1 i

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Analysis 2: Differentialrechnung im Rn, Gewöhnliche Differentialgleichungen by Otto Forster


by Kevin
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